Urodzona w Torrelodones pod Madrytem Lago zadebiutowała w filmie w wieku 9 lat hiszpańskim filmem Terca Vida (2000) (wcześniej wystąpiła w hiszpańskim serialu telewizyjnym) i w tym samym roku dołączyła do obsady Compañeros (Antena 3). W 2002 roku zagrała w filmie Carol`s Journey w reżyserii Imanola Uribe, za który Lago był nominowany do nagrody Goya dla najlepszej nowej aktorki. Zdobyła nagrodę dla „najlepszego nowego talentu w kinie hiszpańskim”, przyznaną przez L`Oreal na 56. Festiwalu Filmowym w San Sebastian w 2008 roku. Clara zdobyła nagrodę Shooting Stars przyznawaną przez ICAA dla Europejskiej Akademii Filmowej i Międzynarodowego Festiwalu Filmowego w Berlinie w 2011 roku za rolę w filmie Ukryta twarz. W 2014 roku Lago zagrał w Hiszpańskiej sprawie. Film pobił hiszpańskie rekordy kasowe, stając się najbardziej dochodowym hiszpańskim tytułem wszechczasów ze sprzedażą i oglądalnością przekraczającą 75 milionów dolarów.